%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% En-tête classique
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\documentclass[10pt,a4paper]{article}%           autres choix : report, book
\documentclass[11pt,a4paper]{scrartcl}%           autres choix : report, book

\usepackage[utf8]{inputenc}%       encodage du fichier source
\usepackage[T1]{fontenc}%          gestion des accents (pour les pdf)
\usepackage[french]{babel}%        rajouter éventuellement english, greek, etc.
%\usepackage[english]{babel}%        rajouter éventuellement english, greek, etc.
\usepackage{textcomp}%             caractères additionnels
\usepackage{mathtools,mathtext}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsopn,amsthm}%      pour les maths
\usepackage{lmodern}%              remplacer éventuellement par txfonts, fourier, etc.
\usepackage[a4paper]{geometry}%    taille correcte du papier
\usepackage{graphicx}%             pour inclure des images
\usepackage{xcolor}%               pour gérer les couleurs
\usepackage{microtype}%            améliorations typographiques

\usepackage{hyperref}%             gestion des hyperliens
\hypersetup{pdfstartview=XYZ}%     zoom par défaut


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Quelques définitions pour ce document
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Style correction d'exercices
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newtheoremstyle{corrigestyle}% DEFINITION D'UN NOUVEAU STYLE
{}% space above
{}% space below
{\normalfont}% body font
{}% indent amount
{\bfseries}% head font
{.}% head pontuation
{\newline}% space after head
{}% head spec
\theoremstyle{corrigestyle}% UTILISATION DU NOUVEAU STYLE
\newtheorem{corrige}{Corrigé de l'exercice}[section]% 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Pour les exercices
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\DeclareMathOperator{\img}{Im} % Exercice 3.9



\title{Module TICE - \LaTeX}
\author{T. Champion - largement repris de Philippe Goutet}
\date{Corrigé des Séances 1 - 3}


\begin{document}

\maketitle

\tableofcontents

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Séance 1
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Séance 1 - Premiers pas en LaTeX}

\setcounter{corrige}{3} % Pour commencer directement à l'exercice 4

% Exercice 4
\begin{corrige}
	Voici ce que disait Paul Montel :
	\begin{quotation}
		\og Au début de 1941, Henri Lebesgue donna au Collège de France son dernier
		enseignement annuel. Déjà, le mal qui devait l'emporter quelques mois plus
		tard était venu s'ajouter aux souffrances morales de la défaite et de
		l'occupation ennemie. Il ne pouvait guère se déplacer à pied et la ville
		était dépourvue de moyens de transport en surface. Il dut faire appel à ces
		appareils tenant de la chaise à porteur et de la bicyclette qui servaient
		alors pour les malades et put ainsi faire son cours. À ses yeux cela signifiait
		faire son devoir, discipline plus nécessaire que jamais pour ceux qui, comme
		lui, avaient foi dans la libération et le relèvement de la Patrie.\fg{}
	\end{quotation}
	(D'après \url{http://fr.wikipedia.org/wiki/Henri_Léon_Lebesgue})
\end{corrige}

% Exercice 5
\begin{corrige}\label{nompropre1}
\newcommand{\nompropre}[2]{#1 \textsc{#2}}% NORMALEMENT ON MET CETTE DEFINITION DANS Le PRÉAMBULE !!!

L'histoire de la théorie de l'intégration est jalonnée de noms célèbres comme
\nompropre{Augustin Louis}{Cauchy}, \nompropre{Bernhard}{Riemann},
\nompropre{Henri}{Lebesgue} ou encore \nompropre{Arnaud}{Denjoy}.
\end{corrige}

% Exercice 6
\begin{corrige}\label{nompropre2}
	\newcommand{\nompropre}[2]{\textsc{#2}}% NORMALEMENT ON MET CETTE DEFINITION DANS Le PRÉAMBULE !!!
	
	L'histoire de la théorie de l'intégration est jalonnée de noms célèbres comme
	\nompropre{Augustin Louis}{Cauchy}, \nompropre{Bernhard}{Riemann},
	\nompropre{Henri}{Lebesgue} ou encore \nompropre{Arnaud}{Denjoy}.

	%COMMENTAIRE : Dans cet exercice, on a juste changé la définition de la commande \nompropre par rapport à l'exercice précédent.
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Séance 2
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Séance 2 - Premiers pas en LaTeX (suite)}

\setcounter{corrige}{0} % Pour recommencer à l'exercice 1

% Exercice 1
\begin{corrige}
	Soit $f$ une fonction vérifiant
	\begin{equation}\label{eq.f}
	f(x) = 2x+1.
	\end{equation}
	On a $f(x)-1 = 2x$ d'après la formule \eqref{eq.f}.
	
	%COMMENTAIRE : 	Pour afficher le numéro de la formule sans les parenthèses, il faut écrire \ref{eq.f}.
\end{corrige}


% Exercice 2
\begin{corrige}
	\[ (x^2)^2 = x^{2^2} \]
	
	\[ F_n = 2^{2^n}+1 \]
\end{corrige}

% Exercice 3
\begin{corrige}
	\[ y = x^2 \iff x = y^{1/2} \]
	
	\[x > 0 \implies x^2 \neq 0\]
	
	\[x \in X \setminus Y \implies x \not\in Y\]
\end{corrige}

% Exercice 4
\begin{corrige}
	\[u_{n+1} = \sqrt[n]{1+u_n}\]
	
	\[x_{5} = \sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1}}}}}\]
\end{corrige}

% Exercice 5
\begin{corrige}
	\[x^{1/3} = x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x}\]

	\[\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\ddots}}}}\]
\end{corrige}

% Exercice 6
\begin{corrige}
	\[(\sqrt{x})^2 = x \quad \text{mais} \quad \sqrt{x^2} \neq x \quad \text{en général.}\]
\end{corrige}

% Exercice 7
\begin{corrige}
	\[\frac{\pi^2}{6} + \gamma = \Gamma(n) + \sqrt[n]{1+\alpha}\]
\end{corrige}

% Exercice 8
\begin{corrige}
	\[\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\]

	\[\int_0^1 -\frac{\ln(1-t)}{t} dt \approx 1{,}644934\]
\end{corrige}

% Exercice 9
\begin{corrige}
	\[\cos^2 + \sin^2 = 1\]

	\[2^{\ln x} = x^{\ln 2}\]

	\[\max_{\substack{x,y \in E \\ x \cdot y = 0}} \phi(x)\]
\end{corrige}

% Exercice 10
\begin{corrige}
	\[\lVert x \rVert = 1 \iff \langle x, x \rangle = 1\]

	\[\lvert\{1, 2, \dots, n\}\rvert = n\]

	\[\lfloor x^2+\epsilon \rfloor = \lceil \sqrt{y}+\delta \rceil\]
\end{corrige}

% Exercice 11
\begin{corrige}
	\[\left\lfloor\sum_{n=1}^{N}{u_n}\right\rfloor^2 = N^2+N+1\]

	\[\left[1+\left(\int_0^{\sqrt{2}} f\right)^2\right] = \gamma\]
\end{corrige}

% Exercice 12
\begin{corrige}
	\[\left.\frac{a}{b} \middle/ \frac{c}{d}\right.\]
	
	% COMMENTAIRE : pour que la commande \middle donne la bonne taille au caractère /, il faut ajouter les délimiteurs vides \left. et right. pour indiquer où la formule dans laquelle apparait ce caractère / commence et se termine.
\end{corrige}

% Exercice 13
\begin{corrige}
	\[\mathcal{L}f = \int_a^b f \,\mathrm{d}t \]
	
	% COMMENTAIRE : la commande \, sert à mettre un petit espace, pour détacher le "dt" de f.
\end{corrige}

% Exercice 14
\begin{corrige}\label{pointvecteur}
	\[\overrightarrow{OM}
	= \underbrace{O + \vec{u}}_{\text{point}+\text{vecteur}}\]
\end{corrige}

% Exercice 15
\begin{corrige}
	\[\sqrt{\sum_{n=0}^{+\infty} u_n} =
	\left(\int_a^b f \,\mathrm{d}t\right)^2 + \gamma \times \frac{\pi^2}{6}\]
	
	\[\lim_{x \to 0^+} f(x) = \sin \left|\frac{1-\sqrt[2]{3}}{2}\right|
	\quad \text{mais} \quad f(0) = \ln^2 3\]

	\[\lim_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} \frac{\left\lfloor(\sin x)^{\cos x}
		- (\cos x)^{\sin x}\right\rfloor}{x^3}\]

	\[\forall x \in \mathbb{R}, \quad f(x) = 0 \iff x^{1/3} + \ln \tan x = \omega\]
\end{corrige}

% Exercice 16
\begin{corrige}
	\newcommand{\enstq}[2]{\left\{#1\,\middle|\,#2\right\}} % Pour définir facilement les ensembles : le premier argument est pour les éléments, le deuxième pour la propriété qui définit l'ensemblre
	
	\newcommand{\card}[1]{\left\lvert#1\right\rvert} % pour définir le cardinal d'un ensemble
	
	\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
	\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
	\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
	
	\newcommand{\norme}[1]{\left\lVert#1\right\rVert}% Pour la norme
		
	\newcommand{\diff}{\,\mathrm{d}}
	
	\newcommand{\mtext}[1]{\quad\text{#1}\quad}% pour écrire du texte séparé par deux grands espaces en mode mathématique.
	
	\[ \card{\enstq{x \in \Z}{x^2 < 2}} = \bigcup_{n \in \N^*}{\card{\enstq{x \in \Z}{x^2 < 2-\frac{1}{n}}}} \]
	
	\[ \mathbb{S}^{1} = \enstq{x \in \R^2}{\norme{x} = 1} \]
	
	\[ \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{n^2 C_{2n}^{n}}} = \frac{\zeta(2)}{3} = \frac{\pi^2}{18} \]
	
	\[ S(x) = \int_{0}^{x} \frac{\sin x}{x} \diff x 	\mtext{avec} \lim_{x \to +\infty} S(x) = \frac{\pi}{2} \]
	
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Séance 4
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Séance 4 - Tableaux, alignements}

\setcounter{corrige}{0} % Pour recommencer à l'exercice 1

% Exercice 1
\begin{corrige}
	\newcommand{\diff}{\,\mathrm{d}}% NORMALEMENT ON MET CETTE DEFINITION DANS Le PRÉAMBULE !!!
	\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}% NORMALEMENT ON MET CETTE DEFINITION DANS Le PRÉAMBULE !!!
	\newcommand{\expo}{\mathrm{e}}% NORMALEMENT ON MET CETTE DEFINITION DANS Le PRÉAMBULE !!!
	
	\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|l|}
			\hline
			$f(x)$ & $\displaystyle\int f(x)\diff x$ \\
			\hline\hline
			$\sin x$ & $- \cos x + C$ \\
			\hline
			$\expo^x$ & $\expo^x + C$ \\
			\hline
			$\frac{1}{1+x^2}$ & $\arctan x + C$ \\
			\hline\hline
			$\sqrt{ax+b}$ & $\frac{1}{a}\frac{2}{3}(ax+b)^{3/2} + C$ \\
			\hline
			$\frac{1}{ax+b}$ & $\frac{1}{a}\ln\abs{ax+b} + C$ \\
			\hline
		\end{tabular}
	\end{center}
\end{corrige}

% Exercice 2
\begin{corrige}
	\begin{gather*}
	\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(2n+1)^2} = \frac{\pi^2}{8} \\
	\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}
	\end{gather*}
\end{corrige}

% Exercice 3
\begin{corrige}
	\newcommand{\diff}{\,\mathrm{d}} % NORMALEMENT ON MET CETTE DEFINITION DANS Le PRÉAMBULE !!!

	\begin{multline*}
	\int_{a}^{b}{\frac{1}{1+\cos x} \diff x}
	+ \int_{b}^{c}{\frac{1}{1+\cos x} \diff x}
	+ \int_{c}^{d}{\frac{1}{1+\cos x} \diff x} \\
	+ \int_{d}^{e}{\frac{1}{1+\cos x} \diff x}
	+ \int_{e}^{f}{\frac{1}{1+\cos x} \diff x}
	+ \int_{f}^{g}{\frac{1}{1+\cos x} \diff x}
	+ \int_{g}^{h}{\frac{1}{1+\cos x} \diff x}
	\end{multline*}
\end{corrige}

% Exercice 4
\begin{corrige}
	\newcommand{\abs}[1]{\left\lvert#1\right\rvert} % NORMALEMENT ON MET CETTE DEFINITION DANS Le PRÉAMBULE !!!

	\begin{align*}
	\abs{\int_{a}^{b}{(f+g)}}
	& = \abs{\int_{a}^{b}{f} + \int_{a}^{b}{g}} \\
	& \leq \abs{\int_{a}^{b}{f}} + \abs{\int_{a}^{b}{g}} \\
	& \leq \int_{a}^{b}{\abs{f}} + \int_{a}^{b}{\abs{g}}
	\end{align*}
\end{corrige}

% Exercice 5
\begin{corrige}
	Voir exercice \ref{pointvecteur} !
\end{corrige}

% Exercice 6
\begin{corrige}
	\newcommand{\diff}{\,\mathrm{d}} % NORMALEMENT ON MET CETTE DEFINITION DANS Le PRÉAMBULE !!!
	\newcommand{\coeffbinom}[2]{\binom{#1}{#2}}

	\[\sum_{n=0}^{+\infty} \textstyle\frac{1}{n!^2}\coeffbinom{2n}{n} x^{2n+1} \]

	\[\int_a^b \textstyle\max_{u\geq x}f(u) \diff x	= \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}{g(\tfrac{1}{\varphi(n)})}\]
\end{corrige}

% Exercice 7
\begin{corrige}
	\[\begin{pmatrix}
	m_{1,1} & \dots & m_{1,n} \\
	\vdots & \ddots & \vdots \\
	m_{n,1} & \dots & m_{n,n}
	\end{pmatrix}\]

	\[\begin{pmatrix}
	m_{1,1} & \dots & m_{1,n} \\
	\hdotsfor{3} \\
	m_{n,1} & \dots & m_{n,n}
	\end{pmatrix}\]
\end{corrige}

% Exercice 8
\begin{corrige}
	\[a \otimes b \xmapsto{f \otimes g} f(a) \otimes g(b)
	\xmapsto{\beta} \beta(f(a),g(b)).\]
\end{corrige}

% Exercice 9
\begin{corrige}
	\[ E = \ker u \oplus \img u. \]
\end{corrige}

% Exercice 10
\begin{corrige}
	\[\sum_{n \equiv a \bmod p}{\frac{1}{n}} < +\infty.\]
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Séance 3
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Séance 3 -  images et bibliographies}

% Exercice 1
\begin{corrige}
On place le fichier \texttt{courbe.jpg} :
	\begin{center}\includegraphics[height=4cm]{courbe.jpg}\end{center}

ou le fichier \texttt{courbe.png} :
	\begin{center}\includegraphics[height=4cm]{courbe.png}\end{center}
\end{corrige}

% Exercice 2
\begin{corrige}
Voir la figure~\ref{image.courbe} page~\pageref{image.courbe}.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[height=4cm]{courbe.jpg}
\caption{Tracé d'une courbe}\label{image.courbe}
\end{figure}
\end{corrige}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Commentaires
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Commentaires}

\subsection{Styles de théorèmes}
Pour créer un nouveau style de théorème (ici le style \texttt{corrige}) dont le corps de texte est écrit droit
et pour lequel on va à la ligne après la déclaration, il suffit de faire une recherche internet pour trouver
le site suivant :
\begin{quotation}
	\url{https://www.ctan.org/pkg/amsthm}
\end{quotation}
et ensuite mettre au point son propre style (c'est ce que j'ai fait).

\subsection{biliographie}
Il faut créer un fichier \texttt{nom.bib} qui contient la bibliographie sous le format Bibtex : voir
par exemple le site \url{http://www.tuteurs.ens.fr/logiciels/latex/bibtex.html}.
Pour ce fichier, j'ai choisi le nom \texttt{exemple.bib}, qui contient les deux références \cite{GDupont}
et \cite{ADurand}.

Sous Texmaker : on exécute d'abord une compilation PDFlatex, puis une compilation Bibtex (sur le même fichier
\texttt{tice-corrige.tex}) puis à nouveau PDFlatex.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Bibliographie
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{thebibliography}{1}
\bibitem{GDupont} Dupont Guillaume, \textit{Une nouvelle démonstration du théorème fondamental des analyses de données systémiques},
Journal of Systemic Data 4, 456-561 (1995).
\bibitem{ADurand} Durand Anatole, \textit{Analyses des données systémiques – Une introduction}, Masson, 1987.
\end{thebibliography}

%\bibliographystyle{plain} %c'est le style de la bibliographie, on peut aussi choisir "alpha" ou "apalike"
%\bibliography{exemple}

\end{document}