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Groupe de Travail
Transport optimal et Optimisation

FRUMAM


Séance du 12 décembre 2024


FRUMAM, 3ème étage

10h : Benjamin Lledos (Université de Nîmes)
Interacting phase fields yielding phase separation on surfaces
In this presentation, we study diffuse interface models for two-phase biomembranes. We will do so by starting off with a diffuse interface model on R^n defined by two coupled phase fields u, v. The first phase field u is the diffuse approximation of the interior of the membrane; the second phase field v is the diffuse approximation of the two phases of the membrane. We prove a compactness result and a lower bound in the sense of Gamma-convergence for pairs of phase functions (u_eps, v_eps). As an application of this first result, we consider a diffuse approximation of a two-phase Willmore functional plus line tension energy.

11h15 : Chiheb Daaloul (Aix-Marseille Univ.)
Gradient descent in the Wasserstein space for sampling
L'échantillonnage est un outil très utilisé en statistiques (méthodes bayésiennes, apprentissage statistique) qui permet de représenter faiblement une mesure de probabilité via une intégration contre une classe de fonctions régulières.
L'algorithme de Langevin est une méthode populaire qui fournit un échantillon approximativement distribué selon une mesure de probabilité définie sur R^d. Dans la première partie de cette thèse, nous obtenons des résultats concernant la convergence d'une généralisation de l'algorithme de Langevin aux mesures définies sur un sous-ensemble convexe possiblement borné de R^d, et dans le cas où la mesure n'est pas nécessairement (relativement) log-concave. Nous justifions rigoureusement la convergence de cet algorithme sous des hypothèses raisonnables. L'analyse présentée dans cette partie s'inscrit dans l'interprétation de l'échantillonnage comme un problème d'optimisation dans l'espace de Wasserstein.
Calculer une moyenne est une opération élémentaire permettant de réduire un ensemble complexe de données à un élément représentatif interprétable. Dans l'espace de Wasserstein, M. Agueh et G. Carlier ont défini le barycentre comme la moyenne de Fréchet, qui a reçu une attention grandissante de la part de communautés au sein et en dehors des mathématiques. Ceci tient en partie à ce que le barycentre de Wasserstein fournit un représentant plus interprétable que d'autres notions de moyennes dans certaines situation (par exemple, en traitement d'images).
Dans la deuxième partie de cette thèse, nous proposons une méthode basée sur une descente de gradient dans l'espace des couplages de Wasserstein pour échantillonner le barycentre de mesures à densité définies sur R^d. Notre méthode consiste en une relaxation de la formulation multimarginale du barycentre, où la contrainte de couplage est remplacée par une pénalité.


Séance du 21 juin 2024


FRUMAM, 2ème étage

11h15 : Flaviana Iurlano (Università degli Studi di Genova)
Approximation of $SBV$ functions with possibly infinite jump set
We prove an approximation result for functions $u\in SBV(\Omega;\mathbb{R}^m)$ such that $\nabla u$ is $p$-integrable, $1\leq p<\infty$, and $g_0(|[u]|)$ is integrable over the jump set (whose $\mathcal{H}^{n-1}$ measure is possibly infinite), for some continuous, nondecreasing, subadditive function $g_0$, with $g_0^{-1}(0)=\{0\}$. The approximating functions $u_j$ are piecewise affine with piecewise affine jump set; the convergence is that of $L^1$ for $u_j$ and the convergence in energy for $|\nabla u_j|^p$ and $g([u_j],\nu_{u_j})$ for suitable functions $g$. In particular, $u_j$ converges to $u$ $BV$-strictly, area-strictly, and strongly in $BV$ after composition with a bilipschitz map. If in addition $\mathcal{H}^{n-1}(J_u)<\infty$, we also have convergence of $\mathcal{H}^{n-1}(J_{u_j})$ to $\mathcal{H}^{n-1}(J_u)$. This is a joint work with Sergio Conti and Matteo Focardi.

11h15 : Guy Bouchitté (Université de Toulon)
Asymptotics of N-points repulsive interaction functionals


Séance du 11 avril 2024


FRUMAM, 2ème étage

14h30 : Paul Pegon (Université Paris-Dauphine)
Transport branché et quantification optimale
Le transport branché est une variante du transport optimal où le coût est strictement sous-additif en la masse m à transporter (typiquement m^α pour α entre 0 et 1) et favorise ainsi le transport groupé. Les trajectoires des particules forment alors un réseau de transport présentant des points de branchement. Ce modèle variationnel a été introduit pour tenter de modéliser différents réseaux artificiels ou naturels (réseaux de communications et de transport, racines des plantes, réseaux de rivières etc.). Dans cet exposé, je présenterai le transport branché et son formalisme lagrangien, puis j'introduirai le problème de quantification optimale de mesures, qui consiste à trouver la meilleure approximation d'une mesure par une mesure atomique ayant un nombre fixé d'atomes. Nous nous intéresserons à ce problème en remplaçant la distance de Wasserstein généralement utilisée par la distance issue du transport branché. Je présenterai quelques résultats portant sur l'asymptotique lorsque le nombre d'atomes tend vers l'infini, et sur les propriétés d'uniformité des quantiseurs optimaux.
Il s'agit d'un travail commun avec Mircea Petrache

16h15 : Thierry Champion (Université de Toulon)
Convergence de méthodes de point fixe et transport optimal
On s'intéresse dans cet exposé à une famille de métriques sur les entiers naturels associées à l'étude du taux de convergence des itérés produits par des méthodes de points fixe de type Krasnodesl'skii-Mann. Ces métriques sont définies de manière inductive via des problèmes de transport optimal emboités : on donnera des propriétés de ces distances, et leurs applications dans l'obtention de taux de convergence précis, guidant ainsi le choix de paramètres optimaux.