{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 2,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "application/javascript": [
       "IPython.notebook.set_autosave_interval(300000)"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    },
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "Autosaving every 300 seconds\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "%reset -f\n",
    "%matplotlib inline\n",
    "%autosave 300\n",
    "#import sys #only needed to determine Python version number\n",
    "#import matplotlib #only needed to determine Matplotlib version number\n",
    "\n",
    "#print('Python version ' + sys.version)\n",
    "#print('Matplotlib version ' + matplotlib.__version__)\n",
    "from math import *\n",
    "from matplotlib.pylab import *"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Objectifs du TP :\n",
    "\n",
    "-  Programmer des algorithmes simples faisant intervenir des tests \"if,elif,else\" et des boucles \"for\" à l'aide du langage de programmation Python,\n",
    "-  Appréhender les limites de la machine,\n",
    "-  Illustrer quatre grandes méthodes d'approximation de solution de $f(x)=0$."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Exercice 1"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Pour afficher les 3 premières décimales de pi, on exécute la commande suivante :"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 46,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "pi vaut 3.142\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "print(\"pi vaut %.3f\" % pi)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Définir la variable a=123,45 et afficher ses 16 premières décimales"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 47,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "a= 123.4500000000000028\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "a=123.45\n",
    "print(\"a= %.16f\" % a)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "On définit maintenant le nombre $b=12 \\times 10^{-15}$.\n",
    "Définir la variable $c$, calculer $(a-a)+b$ et $a+(-a+b)$ et afficher les deux résultats avec 16 décimales."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": []
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Exercice 2"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Soit la suite $x_{n+1} = a\\,x_n − b$ avec les valeurs initiales $x_0 = 1.0$,  $b = 4096.1$ et $a = b + 1$.\n",
    "\n",
    "Calculer à la main ce que vaut $x_n$ pour tout $n$.\n",
    "\n",
    "Programmer le calcul des $15$ premières valeurs de $x_n$ avec une boucle for."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": []
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Recommencer avec la valeur $b= 4095.1$. Que se passe-t-il ?"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": []
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Recommencer avec 𝑏 de la forme $(4^k − 1)+0.1$ pour $k=2$, $k=4$, etc..."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": []
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Exercice 3\n",
    "\n",
    "Programmer le calcul des 30 premiers termes des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ données par\n",
    "$$\n",
    "\\begin{cases} u_0 = 1/2, \\\\ u_{n+1} = 3\\,u_n − 1\\end{cases} \\quad et \\quad \\begin{cases} v_0 = 1/3, \\\\ v_{n+1} = 4\\,v_n − 1\\end{cases}\n",
    "$$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": []
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Expliquer les résultats obtenus."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Exercice 4 - Dichotomie\n",
    "\n",
    "On considère le programme suivant qui calcule une approximation de la valeur de $\\sqrt{2}$ par la méthode de la dichotomie appliquée à la résolution de l'équation $x^2 - 2=0$ sur l'intervalle $[1,2]$ avec la précision $p=10^{-3}$.\n",
    "\n",
    "Modifier ce programme pour qu'il calcule cette approximation avec la précision $p=10^{-6}$ et qu'il affiche le nombre d'itérations effectuées."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 6,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      " on trouve le résultat : 1.4145507812 \n",
      " la valeur exacte est : 1.4142135624 \n",
      " on a donc une erreur de 0.0003372189\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "def f(x):\n",
    "    return x**2-2\n",
    "\n",
    "p = 1e-3;\n",
    "a=1.0;\n",
    "b=2.0;\n",
    "m=(a+b)/2;\n",
    "\n",
    "while (abs(b-a) > p) :\n",
    "    if f(m)*f(a) <= 0 :\n",
    "        b=m;\n",
    "        m=(a+b)/2;\n",
    "    else :\n",
    "        a=m;\n",
    "        m=(a+b)/2;\n",
    "\n",
    "sol=sqrt(2)\n",
    "print(\" on trouve le résultat : %.10f \\n la valeur exacte est : %.10f \\n on a donc une erreur de %.10f\" % (m,sol,abs(m-sol)))"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Exercice 5 - Lagrange\n",
    "\n",
    "Programmer la méthode de Lagrange pour calculer une approximation de la valeur de $\\sqrt{2}$ par la résolution de l'équation $x^2 - 2=0$ sur l'intervalle $[1,2]$ avec la précision $p=10^{-3}$, et qui affiche le nombre d'opérations effectuées.\n",
    "\n",
    "Recommencer avec $p=10^{-6}$."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": []
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Exercice 6 - Sécante\n",
    "\n",
    "Programmer la méthode de la sécante pour calculer une approximation de la valeur de $\\sqrt{2}$ par la résolution de l'équation $x^2 - 2=0$ sur l'intervalle $[1,2]$ (en partant donc de $x_{-1}=1$ et $x_0=2$) avec la précision $p=10^{-3}$, et qui affiche le nombre d'opérations effectuées.\n",
    "\n",
    "Recommencer avec $p=10^{-6}$."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": []
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Exercice 7 - Méthode de Newton\n",
    "\n",
    "Programmer la méthode de Newton pour calculer une approximation de la valeur de $\\sqrt{2}$ par la résolution de l'équation $x^2 - 2=0$ sur l'intervalle $[1,2]$ en partant du point $x_0 = 2$ avec la précision $p=10^{-3}$, et qui affiche le nombre d'opérations effectuées.\n",
    "\n",
    "Pour cela, on rappelle que la méthode de Newton pour résoudre l'équation $f(x)=0$ consiste à considérer la suite des points\n",
    "$$ \\begin{cases} x_0 \\; \\text{fixé} \\\\ x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n) \\end{cases} $$\n",
    "\n",
    "Recommencer avec $p=10^{-6}$, et comparer le nombre d'itérations avec ceux des deux méthodes précédentes."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": []
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": []
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.6.4"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 2
}